作者：張澤 | 中國科學(xué)院大學(xué) 培養單位：中國科學(xué)院物理研究所 審核：章一奇 特聘研究員 | 中國科學(xué)院物理研究所

在我們身邊，臺球正悄然流行起來(lái)。從社區活動(dòng)中心到商業(yè)街的新式球房，越來(lái)越多年輕人開(kāi)始拿起球桿，享受每一次擊球瞬間的樂(lè )趣與挑戰。2025年，趙心童、白雨露等中國選手在國際賽場(chǎng)屢創(chuàng )佳績(jì)，不僅刷新了中國臺球的歷史，也讓更多人關(guān)注并愛(ài)上了這項充滿(mǎn)智慧與技巧的運動(dòng)。

但不知道你是否也經(jīng)歷過(guò)這樣的場(chǎng)面：瞄準，出桿，清脆一響……眼看著(zhù)目標球直奔袋口，卻莫名其妙在最后時(shí)刻彈了出來(lái)！ 這抓狂的一幕，真的只是因為貴兄“今天手感不好”嗎？

不不不，別急著(zhù)怪手感。其實(shí)每一次精準進(jìn)球和細膩走位，背后都藏著(zhù)硬核的數學(xué)和物理規律！

今天，就讓我們拋開(kāi)玄學(xué)，重新用科學(xué)打開(kāi)臺球新世界的大門(mén)

1、準度

“瞄準不是憑感覺(jué)，出桿也要講科學(xué)”

大家都知道，臺球的基本規則是用母球把目標球撞進(jìn)球袋。所以，“準度”是第一關(guān)。很多初學(xué)者以為，只要把母球對準目標球和袋口的連線(xiàn)（進(jìn)球線(xiàn)）擊打，就能進(jìn)球。但，真的這么簡(jiǎn)單嗎？

實(shí)際上，臺球的碰撞可以近似看作“二維剛體的彈性碰撞”。也就是說(shuō)，碰撞后目標球的運動(dòng)方向，會(huì )沿著(zhù)撞擊瞬間兩球心之間的連線(xiàn)方向運動(dòng)。

如圖1所示，目標球被撞擊后的運動(dòng)方向，嚴格遵循一個(gè)物理規律：目標球獲得的速度方向，將沿著(zhù)碰撞瞬間兩球中心點(diǎn)之間的連線(xiàn)方向射出（此處省略萬(wàn)字證明）。

圖 1 理想二維剛體的彈性碰撞

那么問(wèn)題來(lái)了：我們到底該瞄哪里呢？

答案就是臺球界經(jīng)典不衰的——“假想球瞄準法”（圖2）。

圖 2 “假想球”瞄準法

你可以在腦海中假想：目標球的后方，還貼著(zhù)另一個(gè)一模一樣的“虛擬球”。它的中心，正好落在進(jìn)球線(xiàn)上。這時(shí)，你只需將母球擊向這個(gè)“假想球”的中心位置，目標球就能穩穩進(jìn)袋！

聽(tīng)起來(lái)是不是很神奇？還沒(méi)完呢——

即便你瞄得再準，出桿那一瞬的擊球點(diǎn)，也會(huì )通過(guò)一種叫“噴射效應”（Squirt）的物理現象，悄悄改變母球的路線(xiàn)。

圖 3 臺球中的噴射效應

如圖3所示，當桿頭偏離母球（半徑R）中心（偏移距離為b）擊球時(shí)，桿頭對母球的力可以分解為兩個(gè)分量：

? 法向力N：指向母球球心。

? 切向摩擦力F：平行于接觸點(diǎn)切線(xiàn)方向（源自桿頭與球的摩擦）。

這兩個(gè)力的合力T的方向不再與球桿的擊打方向一致，這導致母球在離桿瞬間，其運動(dòng)方向會(huì )偏離預期方向一個(gè)角度α，這種現象就是臺球術(shù)語(yǔ)中的 “噴射”（Squirt）或“讓點(diǎn)”。

根據圖3中的幾何關(guān)系和力學(xué)原理，我們可以發(fā)現：擊打點(diǎn)如果偏離母球中心，就會(huì )產(chǎn)生偏移角α，并且其大小和偏移量b相關(guān)。這一微小的偏差，會(huì )通過(guò)噴射效應顯著(zhù)改變母球出射方向，導致目標球最終沒(méi)有入袋。

精確的瞄準和穩定的打點(diǎn)，構成了臺球最核心的基本功。所以你會(huì )發(fā)現：真正的高手，不僅眼光準，出手也穩——每一桿都在和控制“打點(diǎn)”的物理規律打交道，即使是經(jīng)驗豐富的球員，也需要日復一日的訓練來(lái)打磨這兩項技藝。

2、走位

“駕馭母球是門(mén)藝術(shù)”

能把球打進(jìn)只是入門(mén)，真正拉開(kāi)差距的，還得看“走位”的本事。所謂走位，就是通過(guò)控制母球碰撞后的路線(xiàn)，為自己下一桿制造機會(huì )。而這背后的關(guān)鍵，在于理解“分離角”。

分離角，即碰撞后母球的運動(dòng)方向與目標球運動(dòng)方向之間的夾角（圖4）

圖 4 分離角示意圖

分離角θ是指母球與目標球碰撞后，母球的最終運動(dòng)方向（即其進(jìn)入穩定滾動(dòng)后的方向）與目標球運動(dòng)方向之間的夾角。

精確計算分離角比較麻煩，不過(guò)不用擔心，我們熟悉的科里奧利（沒(méi)錯，就是發(fā)現“科里奧利效應”的那個(gè)科里奧利）在19世紀就對分離角做出過(guò)嚴格的數學(xué)推導。

法國科學(xué)家古斯塔夫?科里奧利

科里奧利不僅是一位卓越的物理學(xué)家和數學(xué)家，同時(shí)也是一位狂熱的臺球愛(ài)好者，他甚至撰寫(xiě)了一本名為《臺球中的數學(xué)理論》（Théorie Mathématique des Effets du Jeu de Billard）的書(shū)，來(lái)介紹臺球中的數學(xué)和物理。不過(guò)很可惜，這本書(shū)并沒(méi)有在臺球界受到廣泛閱讀，因為它過(guò)于學(xué)術(shù)，并且是用法語(yǔ)寫(xiě)成的。

物理、數學(xué)雙料高材生科里奧利先生，在他的書(shū)中幾乎窮盡了球桌上可能發(fā)生的各種力學(xué)問(wèn)題，其中自然也包括我們今天的主角——分離角。

科里奧利認為——如果母球在碰撞時(shí)沒(méi)有旋轉，那么它會(huì )以90°的分離角彈開(kāi)；但如果加了旋轉（比如高桿、低桿），事情這就變得復雜起來(lái)了……

若碰撞瞬間，母球帶有旋轉（這里指上旋和下旋），在碰撞后，母球和球桌之間存在相對滑動(dòng)，我們可以證明（正如科里奧利先生那樣），二者接觸點(diǎn)的速度 與其加速度之間存在這樣的關(guān)系：

其中μ和g分別為球桌與母球之間的摩擦系數和重力加速度。從中可以看到，接觸點(diǎn)的加速度與速度永遠同向，即其速度方向（同時(shí)也是其摩擦力方向）保持不變，此時(shí)母球只受到一個(gè)方向和大小都不變的力，這正是重力場(chǎng)中的拋物運動(dòng)，因此帶旋轉時(shí)，母球在碰撞后的路徑是一個(gè)拋物線(xiàn)，直到其與球桌的相對滑動(dòng)消失。此時(shí)分離角θ為：

其中，φ為母球初始運動(dòng)方向和子球撞擊后運動(dòng)方向的夾角，v0為母球初始速度，R為母球半徑，ω為母球碰撞時(shí)的旋轉角速度。

不過(guò)，現實(shí)中大概率不會(huì )有機會(huì )讓我們打臺球的時(shí)候掏出紙筆（或者是電腦）來(lái)計算分離角，而且據說(shuō)科里奧利本人的臺球水平也不高。（可能他在數學(xué)和物理上的努力并沒(méi)有留給他太多的業(yè)余時(shí)間）

在實(shí)際情況中，人們更多是通過(guò)控制對母球的打點(diǎn)（高桿和低桿，見(jiàn)圖5），以及力度，來(lái)進(jìn)行走位，這需要大量的練習。不同打點(diǎn)以及速度對分離角的影響如圖6所示?？傮w來(lái)說(shuō)，速度越快，母球越傾向于先沿著(zhù)90°分離角飛出，而桿法越低，母球越傾向于先向后滾動(dòng)，高桿同理。

圖 5 不同桿法和速度對分離角的影響

感謝科里奧利的精彩推導。不過(guò)說(shuō)實(shí)話(huà)，真要一邊打球一邊掏筆計算，可能球還沒(méi)進(jìn)，朋友已經(jīng)走光了。

所以現實(shí)中，大家更常用的是直覺(jué)+經(jīng)驗：

? 高桿（擊打母球上部），母球會(huì )向前跟進(jìn)；

? 低桿（下部），母球會(huì )向后回旋；

? 配合力度控制，力量越大，母球越先按90°分離角運動(dòng)，再依旋轉發(fā)生變化。

結語(yǔ)

讀到這里，有些同學(xué)可能躍躍欲試，也有些同學(xué)默默吐槽：“道理我都懂，可為什么還是打不好？”也許……真的不怪你！

“球桿彎了？”

“皮頭老化？一打滑就‘呲桿’”

“球沒(méi)擺緊？”

“開(kāi)局散得不均勻怎么打怎么別扭”

甚至臺面不平、燈光刺眼、對手突然咳嗽……都可能是你“發(fā)揮失?！钡睦碛?！所以說(shuō)，在認真鉆研瞄準與走位之前，先確保你的裝備和環(huán)境別拖后腿。

圖 6 打球失誤的各種理由

但最后我想說(shuō)的是，臺球的最高配置，不是多貴的桿子、多好的臺子，而是那個(gè)愿意陪你練球、互相吐槽、一起進(jìn)步的——好朋友??。

快把這篇文章轉發(fā)給陪你打球的小伙伴們吧~

參考文獻：

[1] Fundamentals - dr. Dave pool info [EB/OL]. from https://drdavepoolinfo.com/tutorial/fundamentals/.

[2] Billiard Dynamics 臺球動(dòng)力學(xué)[EB/OL]. From https://zhuanlan.zhihu.com/p/487265175.

本文轉載自《中科院物理所》微信公眾號

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